Temario

 A continuación, conoceremos un poco sobre los temas vistos durante el curso:

1. Funciones
1. Funciones y sus gráficas
2. Funciones Trigonométricas
2. Limites y Continuidad
1. Tasa de cambio y tangentes a curva
2. Límite de una función y teoremas de límites
3. Definición Formal del Límite
4. Límites Laterales
5. Continuidad
6. Limites y asintotas
3. Diferenciación
1. Derivada de un punto y la recta tangente
2. Función derivada
3. Reglas de derivación
4. La derivada como tasa de cambio
5. Derivada de funciones trigonométricas
6. Regla de la Cadena
7. Derivación Implícita
4. Optimización y trazado de curvas
1. Valores externos de funciones
2. Teorema de valor medio
3. Teorema de Rolle
4. Criterio de la primera derivada y comportamiento monótono de funciones
5. Concavidad y trazado de curvas
6. Optimización: Criterio de segunda Derivada
5. Integración
1. Áreas y estimación mediante sumas finitas
2. Integral definida

Realizamos una pequeña muestra de los temas, explicándolos para mayor comprensión.

Funciones

Definición: Una función es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos de manera que

a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo.

En matemáticas, las funciones son objetos que se utilizan para expresar la relación entre dos magnitudes.

Ejemplo: 

 

Funciones y sus gráficas

• Definición:

La gráfica de una función ayuda a interpretar mejor las relaciones entre las variables.

En esta página bosque haremos gráficas de funciones, obteniendo algunos puntos mediante una

tabla de valores, representándolos en el plano y uniendo los puntos con un trazo suave.

• Ejemplo: 

Funciones trigonométricas

Definición: Las funciones trigonométricas son las funciones cuyo argumento, o variable independiente, es un

ángulo. Los ángulos en las funciones trigonométricas se expresan como radianes.

Los radianes son otra manera de medir la apertura de un ángulo, así como lo son los grados, que

están en función del radio de una circunferencia.

Ejemplo: 

Límites y continuidad

Tasa de cambio y tangentes a una curva:

Definición: La tasa de cambio mide cómo cambia una función respecto a su variable independiente.

La tangente es una línea que toca una curva en un punto, representando su pendiente.

Ejemplo: 

Límite de una función y teoremas de límites

Definición:

El límite de una función describe el comportamiento de la función f(x)f(x) conforme la variable

independiente xx se aproxima a un valor específico cc. No se interesa necesariamente en el

valor de la función en x=cx=c, sino en el valor al que las salidas de la función f(x)f(x) se aproximan

cuando xx se acerca a cc.

El concepto de límite es esencial para el cálculo diferencial e integral, ya que permite definir

la continuidad, la derivada y la integral.

Formalmente, escribimos:

lim⁡x→cf(x)=Lx→clim​f(x)=L

Esto significa que para cualquier ϵ>0ϵ>0, existe un δ>0δ>0 tal que si 0<∣x−c∣<δ0<∣x−c∣<δ,

entonces ∣f(x)−L∣<ϵ∣f(x)−L∣<ϵ.

Ejemplo:

Para f(x)=2x+1f(x)=2x+1, queremos determinar el límite cuando x→3x→3:

lim⁡x→3(2x+1)=2(3)+1=7x→3lim​(2x+1)=2(3)+1=7

Esto significa que, a medida que xx se acerca a 3 desde cualquier dirección, f(x)f(x) se acerca al valor 7.

Definición formal del límite:

La definición formal (o definición ϵ−δϵ−δ) del límite es una forma matemática precisa para

expresar el concepto de "acercarse" a un valor. Decimos que:

lim⁡x→cf(x)=Lx→clim​f(x)=L

si, para cualquier número pequeño ϵ>0ϵ>0 (que mide la proximidad entre f(x)f(x) y LL),

existe un número pequeño δ>0δ>0 (que mide la proximidad entre xx y cc) tal que:

0<∣x−c∣<δ  ⟹  ∣f(x)−L∣<ϵ0<∣x−c∣<δ⟹∣f(x)−L∣<ϵ

Esta definición elimina cualquier ambigüedad sobre cómo se comporta una función cerca de un punto.

Límites laterales

Definición:

Los límites laterales evalúan cómo se comporta una función al acercarse a un punto x=cx=c desde

un solo lado del eje xx. Se clasifican como:

• Límite por la derecha (x→c+x→c+): Considera valores de xx mayores a cc.

• Límite por la izquierda (x→c−x→c−): Considera valores de xx menores a cc.

Si ambos límites laterales existen y son iguales, el límite general también existe y coincide con

esos valores.

Ejemplo:

Para la función f(x)=1xf(x)=x1​:

• Cuando x→0+x→0+ (valores positivos cercanos a 0):

lim⁡x→0+1x=+∞x→0+lim​x1​=+∞

• Cuando x→0−x→0− (valores negativos cercanos a 0):

lim⁡x→0−1x=−∞x→0−lim​x1​=−∞

Continuidad

Definición:

Una función f(x)f(x) es continua en un punto x=cx=c si satisface tres condiciones:

1. La función está definida en cc: f(c)f(c) debe existir.

2. El límite existe en cc: lim⁡x→cf(x)limx→c​f(x) debe existir.

3. El valor de la función coincide con el límite: lim⁡x→cf(x)=f(c)limx→c​f(x)=f(c).

Ejemplo:

La función f(x)=x2f(x)=x2 es continua en todos los valores de xx, ya que:

1. Está definida para todos los valores de xx.

2. Los límites laterales son iguales en cualquier punto.

3. El valor de la función coincide con el límite.

Por ejemplo, en x=2x=2:

f(2)=22=4ylim⁡x→2f(x)=4f(2)=22=4yx→2lim​f(x)=4

Límites y asíntotas

Definición:

Una asíntota es una línea a la que una función se acerca indefinidamente, sin llegar a tocarla.

Existen tres tipos principales de asíntotas:

1. Verticales: Ocurren cuando f(x)→±∞f(x)→±∞ al acercarse a un valor x=cx=c.

2. Horizontales: Ocurren cuando f(x)→Lf(x)→L conforme x→±∞x→±∞.

3. Oblicuas: Surgen cuando el comportamiento de f(x)f(x) en ±∞±∞ se aproxima a una

línea recta que no es paralela a los ejes.

Ejemplo:

Para f(x)=1xf(x)=x1​:

• Tiene una asíntota vertical en x=0x=0, porque:

lim⁡x→0+1x=+∞ylim⁡x→0−1x=−∞x→0+lim​x1​=+∞yx→0−lim​x1​=−∞

• Tiene una asíntota horizontal en y=0y=0, porque:

lim⁡x→∞1x=0ylim⁡x→−∞1x=0x→∞lim​x1​=0yx→−∞lim​x1​=

Diferenciación

Derivada en un punto y la recta tangente

Definición: La derivada en un punto mide la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf′(a)=h→0lim​hf(a+h)−f(a)​

Ejemplo: Para f(x)=x2f(x)=x2, en x=2x=2:

f′(x)=2x,f′(2)=4f′(x)=2x,f′(2)=4

La pendiente de la tangente es 44.

Función derivada

Definición: Es la función que asocia a cada punto del dominio la derivada de la función original:

f′(x)=ddx[f(x)]f′(x)=dxd​[f(x)]

Ejemplo: Si f(x)=x3f(x)=x3, entonces f′(x)=3x2f′(x)=3x2.

Reglas de derivación

Ejemplo:

1. Constante:

ddx[c]=0dxd​[c]=0

2. Potencia:

ddx[xn]=nxn−1dxd​[xn]=nxn−1

La derivada como tasa de cambio

Ejemplo: Si la posición de un auto es s(t)=3t2+2ts(t)=3t2+2t, la velocidad instantánea es la derivada:

v(t)=ddt[s(t)]=6t+2v(t)=dtd​[s(t)]=6t+2

Derivada de funciones trigonométricas

Ejemplo:

1. ddx[sin⁡(x)]=cos⁡(x)dxd​[sin(x)]=cos(x)

2. ddx[cos⁡(x)]=−sin⁡(x)dxd​[cos(x)]=−sin(x)

Regla de la cadena

Definición: Permite derivar funciones compuestas:

ddx[f(g(x))]=f′(g(x))g′(x)dxd​[f(g(x))]=f′(g(x))g′(x)

Ejemplo: Si f(x)=(3x2+1)5f(x)=(3x2+1)5:

f′(x)=5(3x2+1)4⋅6xf′(x)=5(3x2+1)4⋅6x

Derivación implícita

Definición: Se usa cuando la función no está explícitamente despejada para yy.

Ejemplo: Si x2+y2=1x2+y2=1:

2x+2ydydx=0  ⟹  dydx=−xy2x+2ydxdy​=0⟹dxdy​=−yx​

Optimización y trazado de curvas

Valores extremos de funciones

Definición: Son los máximos y mínimos locales o absolutos.

Ejemplo: Para f(x)=−x2+4xf(x)=−x2+4x, el máximo ocurre en x=2x=2.

Teorema del valor medio

Definición: Si f(x)f(x) es continua en [a,b][a,b] y derivable en (a,b)(a,b), existe cc tal que:

f′(c)=f(b)−f(a)b−af′(c)=b−af(b)−f(a)​Teorema de Rolle

Definición: Caso especial del teorema del valor medio, cuando f(a)=f(b)f(a)=f(b).

Concavidad y trazado de curvas

Definición: La concavidad depende de la segunda derivada:

• f′′(x)>0f′′(x)>0: Cóncava hacia arriba.

• f′′(x)<0f′′(x)<0: Cóncava hacia abajo.

Ejemplo: Para f(x)=x3f(x)=x3:

f′′(x)=6xf′′(x)=6x

Integración

Áreas y estimación mediante sumas finitas

Definición: El área bajo una curva se aproxima mediante sumas de rectángulos y se calcula exactamente

con una integral.

Integral definida

Definición: Representa el área neta bajo una curva en un intervalo [a,b][a,b]:

∫abf(x)dx∫ab​f(x)dx

Ejemplo: Para f(x)=x2f(x)=x2 en [0,2][0,2]:

∫02x2dx=[x33]02=83∫02​x2dx=[3x3​]02​=38​